已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的右焦点是F，右顶点是A，

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/06 06:53:30
已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的右焦点是F，右顶点是A，虚轴的上端点是B，向量AB乘向量AF等于6减4倍根号3，角BAF等于150°，1.求双曲线方程，2.设Q是双曲线上的点，且过点F,Q的直线l,与y轴交于点M，若向量MQ+2向量QF=0向量，求直线l的斜率。

1.建立执教坐标系xoy，右顶点是A，虚轴的上端点是B，则A（a，0）、B(0，b）
角BAF等于150°，所以在Rt△AOB中，OA=OB√3，
即a=b√3 （1）
将其代入c^2=a^2+b^2得
c=2b （2）
而右焦点坐标F（c，0），向量AB=（-a，b），向量AF=（c-a，0）
所以-a*（c-a）=6-4√3 （3）
将（1）、（2）代入（3）解得
b=√2
所以c=2√2，a=√6
所求双曲线方程 x^2/6-y^2/2=1
2.设直线L：y=k（x-2√2）
则M（0，-2k√2）设Q（x，y）
向量MQ=（x，y+2k√2）
向量QF=（2√2-x，-y）
向量MQ+2向量QF=0向量可解得x=4√2 y=2k√2
Q是双曲线上的点，所以可以得出y的值y^2=26/3 y=√(26/3)或者
y=-√(26/3)
所以k=y/2√2
即可得出结果k=√39/6或者k=-√39/6

1. 考虑到Rt△OAB中，│OA│=a,│OB│=b,∠BAO=π/6
于是：c=2b,a=√3b
│AB│=c=2b,│AF│=c-a=(2-√3)b
向量AB·向量AF=│AB│*│AF│cos5π/6
于是:6-4√3=2(2-√3)b^2*(-√3/2)
∴b=√2,a=√6,c=2√2
双曲线：x^2/6-y^2/2=1.
2.向量MQ+2向量QF=0向量等价于F是MQ的中点
设l为：y=k(x-2√2),M为(0,-2√2k)
于是：Q为(4√2,2√2k),它在双曲线上
∴（4√2)^2/6-(2√2k)^2/2=1,解得:k=±√39/6.